Um grupo de abelhas, cujo número era igual à raiz quadrada da metade de todo enxame, pousou sobre um jasmim...

Um grupo de abelhas, cujo número era igual à raiz quadrada da metade de todo enxame, pousou sobre um jasmim havendo deixado para trás 8/9 do enxame. Somente uma abelha do mesmo enxame volteava em torno de um lótus atraída pelo zumbido de uma de suas amigas que, imprudentemente, havia caído no cálice da linda flor de doce fragância. Determine o número de abelhas do enxame.

V(x/2) + 8x/9 + 2 = x

V(x/2) = x/9 - 2 ----> Elevando ao quadrado:

x/2 = x²/81 - 4x/9 + 4 ----> Multiplicando por 162:

81x = 2x² - 72x + 648

2x² - 153x + 648 = 0 ----> Equação do 2º grau ----> Bhaskara

Raízes ----> x = 4,5 (não serve) e x = 72

Eliana, Paulo e Patrícia estavam cada um em um canto da praça. Unindo os pontos onde eles estavam, dá para construir um triângulo retângulo sobre o gramado

Se um Polígono regular é tal que a medida de um ângulo interno é o triplo...

Se um polígono regular é tal que a medida de um ângulo interno é o triplo da medida do ângulo externo, o número de lados desse polígono é:

a) 12
b)  9
c)  6
d)  4
e)  8

ai = ângulo interno; ae = ângulo externo

(1) ai = 3 ae
(2) ai + ae = 180 => ai = 180 - ae

Substituindo (2) em (1) teremos: 180 - ae = 3ae => 4ae = 180 => ae = 45 (4)

(5) a medida de um ângulo externo sempre é ae = 360/n, onde n é o número de lados do polígono.

Substituindo (4) em (5) teremos: 45 = 360/n, logo, n = 360/45 => n = 8 lados

Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e 1000 ?

Bem pessoal esta é uma questão clássica de P.A. 

Vamos entender passo a passo como resolvê-la? Então vamos lá:

1º Passo: Os múltiplos de 9 compreendidos no intervalo acima, estão em uma P.A. de razão 9, formando a sequência (108, 117, 126, . . . , 999), onde:

a1 = 108
an = 999
r = 9
n = ?

Termo Geral de uma P.A.

an = a1 + (n - 1) . r

Substituindo teremos: 999 = 108 + (n - 1) . 9 => (999 - 108) / 9 = n - 1 = > n = 100

Logo, existem 100 múltiplos de 9 compreendidos entre 100 e 1000

2º Passo: Os múltiplos de 15 compreendidos no intervalo acima, estão em uma P.A. de razão 15, formando a sequência (105, 120, 135, . . . , 990), onde:

a1 = 105
an = 990
r = 15
n = ?

Termo Geral de uma P.A.

an = a1 + (n - 1) . r

Substituindo teremos: 990 = 105 + (n - 1) . 15 => (990 - 105) / 15 = n - 1 = > n = 60

Logo, existem 60 múltiplos de 15 compreendidos entre 100 e 1000 

3º Passo: Existem múltiplos de 9 e de 15 em comum e que serão contados "duas" vezes, se somarmos os múltiplos de ambos, logo, é preciso descontá-los uma vez. 

Primeiro faça o m.m.c. entre 9 e 15 que você encontrará 45. Assim os demais múltiplos em comum serão: 45x2 = 90; 45x3 = 135, assim por diante, que também estão em uma P.A. de razão 45, formando a sequência (135, 180, 225, . . . , 990), onde:

a1 = 135
an = 990
r = 45
n = ?

Termo Geral de uma P.A.

an = a1 + (n - 1) . r

Substituindo teremos: 990 = 135 + (n - 1) . 45 => (990 - 135) / 45 = n - 1 = > n = 20

Logo, existem 20 múltiplos de 9 e 15 em comum compreendidos entre 100 e 1000 
4º Passo: O número de múltiplos de 9 e 15 compreendidos entre 100 e 1000, é: 


100 + 60 - 20 = 140

Numa escola, há 120 alunos no período da manhã e 85 alunos no período da noite...

Numa escola, há 120 alunos no período da manhã e 85 alunos no período da noite. Queremos formar grupos, por período, com os alunos dessa escola, de tal forma que cada grupo tenha o mesmo número de alunos para ambos os períodos. E além disso, queremos que o número de alunos, por grupo, seja o maior possível. Qual o número total de alunos?

Resolução:

Bem pessoal, vocês podem notar que as frases: "cada grupo tenha o mesmo número de alunos" e "queremos que o número de alunos, por grupo, seja o maior possível" nos remetem a trabalhar com M.D.C.(máximo divisor comum), ou seja, toda vez que quiser dividir em partes iguais e sendo estas as "maiores" possíveis, geralmente nos remeterá ao M.D.C.

Pelo dispositivo prático de Briot-Ruffini, encontraremos o M.D.C.

Como o M.D.C. é 5 resta dividir o número de alunos de cada período pelo mesmo, de forma a saber quantos grupos de 5 pessoas iremos formar:

120 / 5 = 24 grupos
  85 / 5 = 17 grupos

O que totalizará 41 grupos. Resposta final.

Grande abraço a todos e bons estudos!

Uma certa corporação demitiu 10% do seu quadro funcional. Dois meses depois, contratou 10 profissionais. Três meses depois, novamente foram feitas demissões, num total de 10% do quadro corrente...

Saudações nobres estudantes!

Segue uma questão enviada por um de meus alunos e resolvida para os leitores do blog.

Vamos lá:

(F. Souza Andrade/Cadete/CBM/GO/2010) Uma certa corporação demitiu 10% do seu quadro funcional. Dois meses depois, contratou 10 profissionais. Três meses depois, novamente foram feitas demissões, num total de 10% do quadro corrente. Se no final desse processo, a corporação tinha 84% de funcionáros, comparado ao seu quadro do início, então, o número final de funcionários dessa corporação era igual a

 

a) 420

b) 336

c) 168

d) 252

  

Monte assim:


"x" = Quadro inicial de funcionários

0,1x = 10% quadro inicial

x - 0,1x = demissão de 10% quadro inicial (I)

x - 0,1x + 10 = y(Quadro atual após demissões) 

"y" = Quadro atual de funcionários

y = x - 0,1x + 10 => y = 0,9x + 10 (II)

y - 0,1y = demissão de 10% quadro atual (III)

0,84x = equivalente a demissão de 10% quadro atual (IV)

y - 0,1y = 0,84x (Igualando III e IV) (V)

Substituindo II em V teremos:

(0,9x + 10) - 0,1(0,9x + 10) = 0,84x0,9x + 10 - ( 0,09x +1) = 0,84x0,81x +9 = 0,84x0,03x = 9x = 9/0,03x = 300 funcionários

Tirando a prova:

300 - 30 + 10 = 280

280 - 28 = 252

R: 252 funcionários

Bons estudos, pessoal!

Prof. Aender

João comprou uma moto no valor de R$ 5.000,00. Deu uma entrada de R$ 2.000,00 e financiou o restante...

Olá pessoal, tudo bem!


Outra questão enviada por um de meus alunos:

( ACAFE/CBM/SC/2009) João comprou uma moto no valor de R$ 5.000,00. Deu uma entrada de R$ 2.000,00 e financiou o restante, pagando por isso um total de juros de R$ 1.500,00. O pagamento será feito em 12 prestações, sendo cada uma delas maior que a anterior em R$ 20,00. O valor da quinta prestação será de:

a) R$ 225,00
b) R$ 375,00
c) R$ 250,00
d) R$ 345,00

Amigos isso é uma Progressão Aritmética (P.A.) ou seja, uma sequência onde sempre adicionamos o mesmo valor (chamado razão) ao número anterior, para encontrar o sucessor. Exemplo: PA de razão 2 (2, 4, 6, 8,....) 2+2=4, 4+2=6 e por ai vai. 

Assista no site a Vídeo Aula sobre Progressão Aritmética em meu Blog clicando AQUI!

É uma P.A. de 12 termos onde a1= x e a12=x + 220 (conforme sequência abaixo:

1ª - x2ª - x+203ª - x+ 404ª - x + 605ª - x+ 806ª - x + 1007ª - x + 1208ª - x + 1409ª - x + 16010ª - x + 18011ª - x + 20012ª - x + 220

Total a pagar = 3000(restante) +1500(juros) = 4500A fórmula para calcular a soma dos termos de uma P.A. é : Sn=(a1+an).n/2 , onde:

Sn = A soma

a1 = Primeiro termo da P.A.= x

an = Último termo da P.A. = x + 220

n = Número de termos da P.A. = 12

Substituindo na fórmula

Sn=(x + x + 220).12/24500 = (2x + 220)64500 = 12x + 1320x = 2655ª parcela => x + 80 = 265 + 80 = $345,00

Bons estudos!

Prof. Aender

Progressão Aritmética (P.A.) - Parte 3 - Final

Video Aulas do Vestibulandia.com (por Nerckie)

Progressão Aritmética (P.A.) - Parte 2

Video Aulas do Vestibulandia.com (por Nerckie)

Progressão Aritmética (P.A.) - Parte 1

Video Aulas do Vestibulandia.com (por Nerckie)

Aumentando-se um número de x em 75 unidades, seu logaritmo na base 4 aumenta em 2 unidades ...

Aulas de Resolução de Exercícios de Matemática para o concurso CFO Bombeiros

Estou organizando uma turma para aulas de resolução de exercícios de Matemática para o Concurso Público CFO-Bombeiros 2011.

Interessados enviar e-mail para professoraender@gmail.com, para obter maiores informações.

No assunto do e-mail coloque o título: "Aulas de Reforço - Concurso Bombeiros"

Assim que atingir o número mínimo de alunos iniciaremos as aulas.

Abraço!

Prof. Aender 

Sinfonia dos Poliedros

Excelente Vídeo sobre Poliedros e outros elementos da Matemática

Sr. José, antes de morrer, deixou um testamento para que sua herança fosse bem divida. Esta herança foi avaliada em R$ 495.000,00, para ser dividida entre seus 11 netos e 3 filhos...

Olá pessoal, tudo bem! 

A questão abaixo me foi enviada por um aluno meu, logo, resolvi compartilhar com vocês devido ao teor das informações. 

Vamos lá?

Sr. José, antes de morrer, deixou um testamento para que sua herança fosse bem divida. Esta herança foi avaliada em R$ 495.000,00, para ser dividida entre seus 11 netos e 3 filhos. Pelo testamento, a divisão deverá ser feita na razão direta do número de netos e na razão inversa das idades dos filhos. Sabendo-se que o filho mais velho tem 48 anos e 6 filhos; que o filho do meio tem 36 anos e 3 filhos e o mais novo tem 30 anos e 2 filhos, podemos afirmar que cada um dos filhos do filho mais novo receberá:

a) R$ 120.000,00
b) R$ 112.500,00
c) R$ 75.000,00
d) R$ 60.000,00

Bem, como usaremos ao mesmo tempo grandezas diretamente e inversamente proporcionais, é preciso fazer um produto entre ambas. Exemplo:

*  Inversamente proporcional à idade do filho mais velho de 48 anos e Diretamente proporcional ao número de filhos que no caso são 6, logo, 6 * 1/48 = 6/48

O valor de 495.000 será dividido em três partes, X(mais velho), Y(do meio) e Z(mais novo), daí a equação ficará assim:

Como a pergunta faz alusão ao filho mais novo e este tem 2 filhos, logo, cada um receberá R$ 60.000.

Resposta: letra d

Grande abraço pessoal, espero tê-los ajudado!

Triângulos - Critérios de Semelhança - Parte 2 - Final

Video Aulas do Vestibulandia.com (por Nerckie)

Triângulos - Critérios de Semelhança

Matemática - Aula 36 - Triângulos - Critérios de Semelhança - Parte 1

Video Aulas do Vestibulandia.com (por Nerckie)

Calcule o montante produzido por R$ 5.000,00 aplicado à taxa de 6% ao bimestre, após um ano...

Olá leitores do site!


Segue uma questão básica de juros compostos para reflexão:


Calcule o montante produzido por R$ 5.000,00 aplicado à taxa de 6% ao bimestre, após um ano, no sistema de juros compostos.

Fórmula para calcular o montante:

M=C.(1+i)^t

Colete os dados do problema da seguinte forma:

M (MONTANTE)= ?
C (CAPITAL)= 5.000
i (TAXA)= 6%
t (PERÍODO)= 6 BIMESTRES (EQUIVALE A 01 ANO)

Faça as devidas substituições:

M=5.000. (1+0,06)⁶
M=5.000.1,4185
M=7.092,59

Espero tê-los ajudado.

Abraços!

Prof. Aender

Matemática - Aula 35 - Triângulos - Critérios de Congruência - Parte 1

Video Aulas do Vestibulandia.com (por Nerckie)

Aulas Particulares de Matemática em BH

Se você é de BH/MG e tem dificuldade com Matemática, seus problemas acabaram.

Contrate o Prof. Aender e transforme sua dificuldade em diversão.

As aulas preparam o aluno para:

• Os níveis Fundamental, Médio e Superior

• Especialista em concursos Militares - (CFO-Bombeiros, CTSP, EsssA, EPCAR, Colégio Naval, Colégio Militar, ITA)

• CEFET, COLTEC

Faça contato pelo e-mail: professoraender@gmail.com

Bons estudos!

(Enem/2000) Um apostador tem três opções para participar...

Questões do ENEM resolvidas e comentadas pelo Prof. Aender

Um apostador tem três opções para participar de certa modalidade de jogo, que consiste no sorteio aleatório de um número dentre dez.

1ª opção: comprar três números para um único sorteio.
2ª opção: comprar dois números para um sorteio e um número para um segundo sorteio.
3ª opção: comprar um número para cada sorteio, num total de três sorteios.

Se X,Y Z representam as probabilidades de o apostador ganhar algum prêmio, escolhendo, respectivamente a 1ª, a 2ª e 3ª opção é correto afirmar que:

Solução

Na primeira opção, temos um único sorteio, ou seja, evento. Nesse evento, o apostador pode escolher três entre dez. A probabilidade, então, pode ser calculada por:

P(3) = 3/10 = 0,3

Na segunda opção, temos dois sorteios, ou seja, dois eventos. Num deles, o apostador escolhe dois números entre dez e, no outro, um entre dez. Como o apostador pode ganhar em um ou no outro sorteio, temos uma união de probabilidades. A probabilidade é calculada por:

P(1U2) = 2/10 + 1/10 - 2/100 = 0,28

Na terceira opção, temos três sorteios, ou seja, três eventos. Em cada um deles, o apostador escolhe um número entre dez. Como ele pode ganhar em qualquer um dos três sorteios, temos uma união de probabilidades. Essa probabilidade é calculada por:

P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)

Ou seja:

P(1U2U3) = 1/10 + 1/10 + 1/10 - 1/100 - 1/100 - 1/100 + 1/1000 = 0,271

Com isso, temos que X maior que Y maior que Z 


Abraço a todos!
Prof. Aender

Matemática - Aula 32 - Noções de Geometria e Trigonometria - Parte 2

Video Aulas do Vestibulandia.com (por Nerckie)

Matemática - Aula 32 - Noções de Geometria e Trigonometria - Parte 1

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Uma certa mercadoria é vendida nas lojas A e B, sendo R$ 20,00 mais cara em B...

Exercício resolvido de porcentagem. Aplicado no último simulado do CEFET

Uma certa mercadoria é vendida nas lojas A e B, sendo R$ 20,00 mais cara em B. Se a loja B oferecesse um desconto de 10% o preço nas duas lojas seria o mesmo. Qual é o preço na loja A?

Tem-se que uma certa mercadoria é vendida nas lojas A e B. O preço na loja B é R$ 20,00 mais cara que na loja A. Contudo, se a loja B oferecesse um desconto de 10% (ou 0,10), os dois preços ficariam iguais (na loja A e na loja B)..Vamos chamar o preço da loja A de "A" e o preço na loja B de "B".Assim, como o preço na loja B é R$ 20,00 mais cara que na loja "A", então temos que: 

B = A + 20 . (I)

É informado também que se a loja B desse um desconto de 10% (ou 0,10) em cima do seu preço, os preços das duas lojas ficariam iguais. Então, temos que: 

B - 0,10B = A
0,90B = A , ou, invertendo: 

A = 0,90B . (II)
Agora, vamos lá para a igualdade (I), e, lá, vamos substituir "A" por "0,90B", conforme encontramos em (II) acima. A igualdade (I) é esta: 
B = A + 20 ------- substituindo "A" por "0,90B", temos: 

B = 0,90B + 20
B - 0,90B = 20 
0,10B = 20
B = 20/0,10
B = 200 (Esse é o preço da mercadoria na loja B). 

Agora, para encontrar o preço na loja A, vamos substituir "B" por "200" na igualdade (II). A igualdade (II) é esta: 

A = 0,90B ----------substituindo "B" por "200", temos: 

A = 0,90*200
A = 180 (Essa é a resposta. Esse é o preço da mercadoria na loja A.)

Considere o octógono regular ABCDEFG inscrito numa circunferência...

Questão 39 da Prova de Admissão da EPCAR 1º ano 2011

O dobro do quadrado da nota final de Pedrinho é zero. Qual é a sua nota final?

Sendo x a nota final, matematicamente temos:

2x² = 0

Podemos identificar esta sentença matemática como sendo uma equação do segundo grau incompleta, cujos coeficientes b e c são iguais a zero.

Conforme já estudamos este tipo de equação sempre terá como raiz real o número zero. Apenas para verificação vejamos:

A nota final de Pedrinho é igual a zero.

Funções - Conceitos -

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Conjuntos Parte 2

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Conjuntos Parte 1

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A matemática é uma das ciência exatas, se não for a mais, das mais requisitadas em todas as áreas do conhecimento.

Mesmo que vocês pertencer às ciências humanas, é aconselhável a prática da Matemática, uma vez que é importante o desenvolvimento do raciocínio lógico e cognitivo.

O professor Aender pode ajudá-lo e para contactá-lo, basta preencher o formulário abaixo e aguardar a resposta.

Seja Bem vindo ao Matemática na Pele. Esperos que tenha gostado!

Prof. Aender Pereira

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O triplo do quadrado do número de filhos de Pedro é igual a 63...

Olá pessoal, segue um exercício muito interessante de equações do 2º grau, resolvido e comentado por mim. Vamos aprender? Então vamos lá!

O triplo do quadrado do número de filhos de Pedro é igual a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Quantos filhos Pedro tem?

a)      3    b) 7     c) 4     d) 6

Sendo x o número de filhos de Pedro, temos que 3x² equivale ao triplo do quadrado do número de filhos e que63 - 12x equivale a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Montando a sentença matemática temos:

3x² = 63 - 12x

Que pode ser expressa como:

3x² + 12x - 63 = 0

Temos agora uma sentença matemática reduzida à forma ax² + bx + c = 0, que é denominada equação do 2° grau. Vamos então encontrar as raízes da equação, que será a solução do nosso problema:

Primeiramente calculemos o valor de Δ:

Como Δ é maior que zero, de antemão sabemos que a equação possui duas raízes reais distintas. Vamos calculá-las:

A raízes encontradas são 3 e -7, mas como o número de filhos de uma pessoa não pode ser negativo, descartamos então a raiz -7.

Portanto:

Pedro tem 3 filhos.

Até a próxima,

Prof. Aender Pereira