Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e 1000 ?

Bem pessoal esta é uma questão clássica de P.A. 

Vamos entender passo a passo como resolvê-la? Então vamos lá:

1º Passo: Os múltiplos de 9 compreendidos no intervalo acima, estão em uma P.A. de razão 9, formando a sequência (108, 117, 126, . . . , 999), onde:

a1 = 108
an = 999
r = 9
n = ?

Termo Geral de uma P.A.

an = a1 + (n - 1) . r

Substituindo teremos: 999 = 108 + (n - 1) . 9 => (999 - 108) / 9 = n - 1 = > n = 100

Logo, existem 100 múltiplos de 9 compreendidos entre 100 e 1000

2º Passo: Os múltiplos de 15 compreendidos no intervalo acima, estão em uma P.A. de razão 15, formando a sequência (105, 120, 135, . . . , 990), onde:

a1 = 105
an = 990
r = 15
n = ?

Termo Geral de uma P.A.

an = a1 + (n - 1) . r

Substituindo teremos: 990 = 105 + (n - 1) . 15 => (990 - 105) / 15 = n - 1 = > n = 60

Logo, existem 60 múltiplos de 15 compreendidos entre 100 e 1000 

3º Passo: Existem múltiplos de 9 e de 15 em comum e que serão contados "duas" vezes, se somarmos os múltiplos de ambos, logo, é preciso descontá-los uma vez. 

Primeiro faça o m.m.c. entre 9 e 15 que você encontrará 45. Assim os demais múltiplos em comum serão: 45x2 = 90; 45x3 = 135, assim por diante, que também estão em uma P.A. de razão 45, formando a sequência (135, 180, 225, . . . , 990), onde:

a1 = 135
an = 990
r = 45
n = ?

Termo Geral de uma P.A.

an = a1 + (n - 1) . r

Substituindo teremos: 990 = 135 + (n - 1) . 45 => (990 - 135) / 45 = n - 1 = > n = 20

Logo, existem 20 múltiplos de 9 e 15 em comum compreendidos entre 100 e 1000 
4º Passo: O número de múltiplos de 9 e 15 compreendidos entre 100 e 1000, é: 


100 + 60 - 20 = 140