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Um grupo de abelhas, cujo número era igual à raiz quadrada da metade de todo enxame, pousou sobre um jasmim...

Um grupo de abelhas, cujo número era igual à raiz quadrada da metade de todo enxame, pousou sobre um jasmim havendo deixado para trás 8/9 do enxame. Somente uma abelha do mesmo enxame volteava em torno de um lótus atraída pelo zumbido de uma de suas amigas que, imprudentemente, havia caído no cálice da linda flor de doce fragância. Determine o número de abelhas do enxame.

V(x/2) + 8x/9 + 2 = x

V(x/2) = x/9 - 2 ----> Elevando ao quadrado:

x/2 = x²/81 - 4x/9 + 4 ----> Multiplicando por 162:

81x = 2x² - 72x + 648

2x² - 153x + 648 = 0 ----> Equação do 2º grau ----> Bhaskara

Raízes ----> x = 4,5 (não serve) e x = 72

Eliana, Paulo e Patrícia estavam cada um em um canto da praça. Unindo os pontos onde eles estavam, dá para construir um triângulo retângulo sobre o gramado

Se um Polígono regular é tal que a medida de um ângulo interno é o triplo...

Se um polígono regular é tal que a medida de um ângulo interno é o triplo da medida do ângulo externo, o número de lados desse polígono é:

a) 12
b)  9
c)  6
d)  4
e)  8

ai = ângulo interno; ae = ângulo externo

(1) ai = 3 ae
(2) ai + ae = 180 => ai = 180 - ae

Substituindo (2) em (1) teremos: 180 - ae = 3ae => 4ae = 180 => ae = 45 (4)

(5) a medida de um ângulo externo sempre é ae = 360/n, onde n é o número de lados do polígono.

Substituindo (4) em (5) teremos: 45 = 360/n, logo, n = 360/45 => n = 8 lados

Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e 1000 ?

Bem pessoal esta é uma questão clássica de P.A. 

Vamos entender passo a passo como resolvê-la? Então vamos lá:

1º Passo: Os múltiplos de 9 compreendidos no intervalo acima, estão em uma P.A. de razão 9, formando a sequência (108, 117, 126, . . . , 999), onde:

a1 = 108
an = 999
r = 9
n = ?

Termo Geral de uma P.A.

an = a1 + (n - 1) . r

Substituindo teremos: 999 = 108 + (n - 1) . 9 => (999 - 108) / 9 = n - 1 = > n = 100

Logo, existem 100 múltiplos de 9 compreendidos entre 100 e 1000

2º Passo: Os múltiplos de 15 compreendidos no intervalo acima, estão em uma P.A. de razão 15, formando a sequência (105, 120, 135, . . . , 990), onde:

a1 = 105
an = 990
r = 15
n = ?

Termo Geral de uma P.A.

an = a1 + (n - 1) . r

Substituindo teremos: 990 = 105 + (n - 1) . 15 => (990 - 105) / 15 = n - 1 = > n = 60

Logo, existem 60 múltiplos de 15 compreendidos entre 100 e 1000 

3º Passo: Existem múltiplos de 9 e de 15 em comum e que serão contados "duas" vezes, se somarmos os múltiplos de ambos, logo, é preciso descontá-los uma vez. 

Primeiro faça o m.m.c. entre 9 e 15 que você encontrará 45. Assim os demais múltiplos em comum serão: 45x2 = 90; 45x3 = 135, assim por diante, que também estão em uma P.A. de razão 45, formando a sequência (135, 180, 225, . . . , 990), onde:

a1 = 135
an = 990
r = 45
n = ?

Termo Geral de uma P.A.

an = a1 + (n - 1) . r

Substituindo teremos: 990 = 135 + (n - 1) . 45 => (990 - 135) / 45 = n - 1 = > n = 20

Logo, existem 20 múltiplos de 9 e 15 em comum compreendidos entre 100 e 1000 
4º Passo: O número de múltiplos de 9 e 15 compreendidos entre 100 e 1000, é: 


100 + 60 - 20 = 140